Лицу, исполняющему обязанности, передаются полностью все полномочия, замещаемого лица и только некоторые?

И. О. директора в данном случае - руководитель организации (пусть временно) и ему даны полномочия приёма и увольнения работников. Но даже если этот и. о. не решится подписать вам заявление (по собственной робости или по негласному указанию "сверху") - вас это абсолютно не касается. Ваше дело - написать заявление об увольнении, сделать его копию, сдать заявление в отдел кадров. секретариат, экспедицию и т. п. и ПОТРЕБОВАТЬ ОТМЕТКИ НА КОПИИ О ПРИНЯТИИ ВАШЕГО ЗАЯВЛЕНИЯ. Если же отметку делать отказываются - то направьте заявление заказным письмом с уведомлением о вручении, а еще лучше - телеграфом (текст всего несколько слов, будет недорого, зато сэкономите время) . Бланк телеграммы также напишите в двух экземплярах, вам его заверят тут же на телеграфе, к нему приложите чек (квитанцию) об отправке и держите это у себя. И отсчитывайте ровно две недели, начиная со следующего дня после подачи заявления. А потом просто придите в отдел кадров, потребуйте трудовую книжку и полный расчет в бухгалтерии (ст. 80 ТК РФ).

Может, если у него нет ограничений по работе с кадрами.

1. все зависит от соглашения сторон. Можно передать как все обязанности, так и часть
2.Ваше заявление может подписать любой представитель работодателя. Главное, чтобы оно до отдела кадров дошло

да, должен

Передаюся все обязанности. Передача обязанностей осуществляется на основании приказа.