Новый трудовой договор или доп соглашение?

Трудовой договор подписывается при приеме на работу Вы продолжаете работать дальше, следовательно зачем Вам его подписывать?

Новый трудовой договор не подписывайте. Сошлитесь на то, что при приеме на работу уже подписывали трудовой договор и по ТК РФ нет оснований для его переоформления.

чтобы подписать трудовой договор с новым директором. вас сначала нужно уволить. надеюсь, заяву на увольнение пока не требуют. спросите также, чем руководство обосновывает свое решение

При смене руководителя предприятия никакие кадровые документы не переоформляются "под нового директора". Дело в том, что с точки зрения закона новый генеральный директор является правопреемником предыдущего и обязан выполнять все те обязательства, которые принял на себя его предшественник. Внесение каких-либо изменений в трудовой договор по инициативе руководителя может осуществляться только в порядке, установленном в ст. 74 Трудового кодекса РФ.

Сменился руководитель, хорошо, а смена собственника имущества произошла?
Если да и при этом Вы являлись замом бывшего руководителя или главбухом, то настоятельно советую подписать (п4ч1ст81 ТК РФ) ;

Они хотят всё же заключить новый трудовой или же внести изменения в существующий подписанием дополнительного соглашения? Если первый вариант то велика вероятность того, что ребята хотят сэкономить на ваших отпускных (в таком случае происходит ваше увольнение и приём с соот. оформлением, в т. ч. с записью в труд. книжке) .
Основания такого, как смена руководителя ни ТК РФ ни иными ФЗ не предусмотрено!!! !

Грозить можно и пальчиком, но наиболее приемлемый вариант это ГИТ, прокуратура и Суд. Хотя, они вас пока же не увольняют из конторы.

Интересно, а руководство считает нормальным подпись человека на документе якобы 2006 года, который еще не работал директором в тот момент? И зачем им это надо?
Скажите, что у вас уже есть ТД, он вас устраивает и второй ТД вам без надобности.
Как вам уже сказали тут - при смене руководителя ни новый ТД, ни ДС к нему не составляются.