Может ли ЦЗН предлагать работу не по специальности?

Вот что гласит Закон

Статья 4. Подходящая и неподходящая работа

1. Подходящей считается такая работа, в том числе работа временного характера, которая соответствует профессиональной пригодности работника с учетом уровня его профессиональной подготовки, условиям последнего места работы (за исключением оплачиваемых общественных работ) , состоянию здоровья, транспортной доступности рабочего места.
3. Оплачиваемая работа, включая работу временного характера и общественные работы, требующая или не требующая (с учетом возрастных и иных особенностей граждан) предварительной подготовки, отвечающая требованиям трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права (далее - трудовое законодательство) , считается подходящей для граждан:
впервые ищущих работу (ранее не работавших) и при этом не имеющих профессии (специальности) ; уволенных более одного раза в течение одного года, предшествовавшего началу безработицы, за нарушение трудовой дисциплины или другие виновные действия, предусмотренные законодательством Российской Федерации; прекративших индивидуальную предпринимательскую деятельность, вышедших из членов крестьянского (фермерского) хозяйства в установленном законодательством Российской Федерации порядке; стремящихся возобновить трудовую деятельность после длительного (более одного года) перерыва, а также направленных органами службы занятости на обучение и отчисленных за виновные действия;
отказавшихся повысить (восстановить) квалификацию по имеющейся профессии (специальности) , получить смежную профессию или пройти переподготовку после окончания первого периода выплаты пособия по безработице;
состоящих на учете в органах службы занятости более 18 месяцев, а также более трех лет не работавших;
обратившихся в органы службы занятости после окончания сезонных работ.
4. Подходящей не может считаться работа, если:
она связана с переменой места жительства без согласия гражданина;
условия труда не соответствуют правилам и нормам по охране труда;
предлагаемый заработок ниже среднего заработка гражданина, исчисленного за последние три месяца по последнему месту работы. Данное положение не распространяется на граждан, среднемесячный заработок которых превышал величину прожиточного минимума трудоспособного населения (далее - прожиточный минимум) , исчисленного в субъекте Российской Федерации в установленном порядке. В этом случае подходящей не может считаться работа, если предлагаемый заработок ниже величины прожиточного минимума, исчисленного в субъекте Российской Федерации в установленном порядке.

Может при условии, что требования к кандидатам не превышают ваши знания и навыки. Скажем, нельзя учителю литературы предлагать работу медсестры. А санитарки - можно.

Вполне. Может также направить и на переобучение

так и будет

могут, но только что бы это не шло в разрез с вашим образованием, например если у вас высшее и вам предлагают дворника, то это совершенно нормально отказаться и вам за этого ни чего не должно быть