может ли прокуратура принудить работодателя принять работника на работу?

да может, если будет доказано, что ФАКТИЧЕСКИ он работал у вас по трудовому договору

в силу положений статьи 67 тк рф: трудовой договор, не оформленный в письменной форме, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя; при допущении работника к работе работодатель обязан оформить с ним трудовой договор в письменной форме не позднее трех рабочих дней. .

в соответствии с положениями статьи 352 тк рф: каждый имеет право защищать свои права всеми способами, не запрещенными законом; основными способами защиты трудовых прав являются: самозащита работниками трудовых прав; защита трудовых прав работников профессиональными союзами; государственный надзор за соблюдением трудового законодательства; судебная защита..

За нарушение трудового законодательства, должностные лица могут быть привлечены к административной ответственности, но прокуратура также может представлять интересы работника в суде.

До прокуратуры и суда лучше не доводить. Если будет доказан факт, что работник получал заработную плату и работал в неофициальном порядке, а следовательно будет расматриваться, как неуплату налогов, обязательных взносов, так же ущемление льгот работника (оплата отпуска, б/л) влечет наложение административного штрафа.
Так же, если будет доказано, что работнику было неправомерно отказано в устройстве на работу (согласно ст. 64 ТК) при наличии вакантной должности, то органы защиты имеют право требовать восстановить права работника, т. е. принять на работу.

поскольку работник фактически приступил к работе, прокуратура должна обязать работодателя оформить трудовые отношения в соответствии с трудовым законодательством. И работник в данном случае не виноват, просто работодатель должен соблюдать закон.