Как официально должен происходить обмен информациеей между школой (социальным педагогом) и инспектором ПДН.?

В вашем случае, только через официальные запросы, которые еще и регистрировать надо во входящих. И отвечать, что не сделали, т. к. с их стороны не было никакого запроса, присылайте, сделаем. И ответы отправлять, либо по почте, либо, по договоренности, они сами (инспектор ПДН или кто отправлял запрос) приезжают и забирают. Вам-то зачем бегать? Пару-тройку раз так сделать, хамство пропадет. На счет исправления характеристик, тоже ответ может быть только один: что я о ребенке знаю, то и указываю, если у вас есть дополнительные сведения, пишите свои справки, я исправлять ничего не буду, т. к. у меня других сведений о ребенке нет.
В телефонном режиме, конечно, можно решать такие вопросы, но если только с ПДН нормальные отношения. Кроме того, школы зачастую готовы идти на встречу и подготавливать документы заранее, при условии, что, когда документы будут забирать, офф. запрос привезут, т. к. соц. педагогам (и не только) нужна бумага, по которой они вправе выдать эти документы.
А на хамское поведение в отношении вас может написать жалобы на имя начальника того отдела, где работает этот сотрудник. Пусть он разбирается со своими подчиненными.

Официально, значит документально оформлен. Это запросы письменные, ответы письменные на бланке организации, где укзан адрес, конт. тел. и т. п.
Потому что если инспектор ПДН пришлет Вам письменный запрос, а Вы ему ответите устно, то не факт, что он не забудет об этом, а по происшествии времени обвинит соц. педагога в том, что ответ на запрос получен не был. Так же может поступить и соц. педагог. Вот во избежание таких ситуаций должны быть бумажки, которые подтверждают то, что ответ был дан официально.
А вообще странно конечно. То ли я не так вопрос поняла, то ли у нас в школах и ПДН не знакомы с основами делопроизводства. Это ведь так элементарно.