как должен происходить перевод сотрудника в другую компанию?

Перевод сотрудника в другую организацию возможен только при согласовании всех сторон. Однако оформление увольнения с прежнего места избежать не удастся, но новый работодатель не имеет права устанавливать сотруднику испытательный срок.
. Ст. 178, 180 ТК, в одной из них расписан порядок выплаты пособия при ликвидации, в другой - порядок уведомления работника о ликвидации. Ваш отказ от перевода к другому РД, если Вас что-то не устраивает или вообще не хотите туда трудоустраиваться вне зависимо от причины, не лишает Вас права увольнения по ликвидации и получения пособия.

"...вместо "ликвидации" они это называют "переорганизацией"... не знаю, есть ли разница... "
Есть, см. ст. 75 ТК.
Реорганизация не является основанием для увольнения, если работник согласен работать дальше, просто вносится изменение в наименование работодателя и все. ТД остается старый. Если работодатель хочет что-то поменять, то это происходит в рамках статьи 74 ТК (или 72 ТК), но опять же - не через увольнение и прием, а подписывается дополнительное соглашение к действующему ТД.

Путём увольнения из одной компании и принятия на работу в другую.

1. Письмо от принимающей компании.
2. Заявление работника об увольнении по переводу.
3. Согласие текущего работодателя.
4. Оформление увольнения у текущегго работодателя.
5. Приём в течении месяца у принимающего работодателя.
Вот так, если волнует. что то более конкретное, то поясните.