Подскажите пожалуйста, возможен ли перевод сотрудника из штата одного филиала в другой без увольнения?

Филиалы не являются юридическими лицами (ст. 55 ГК РФ) . А перевод через увольнение осуществляется только при переводе к другому юр. лицу. Поэтому перевод работника филиала в другой филиал находится в компетенции руководителя организации (головная организация) . Заключается дополнительное соглашение к трудовому договору, которое послужит основанием к приказу о переводе Т-5.
1. Работник пишет заявление о переводе на имя руководителя филиала . Руководитель филиала ставит визу согласования и направляет руководителю организации. По завершении всех согласований руководитель организации принимает решение о переводе .
2. В головной организации составляется дополнительное соглашение к трудовому договору работника и издается приказ о переводе Т-5. Основание: доп. соглашение к трудовому договору, заявление работника .

А при чем тут увольнение если это оформляется переводом?

Статья 72.1. Перевод на другую работу. Перемещение

[Трудовой кодекс РФ] [Глава 12] [Статья 72.1]
Перевод на другую работу - постоянное или временное изменение трудовой функции работника и (или) структурного подразделения, в котором работает работник (если структурное подразделение было указано в трудовом договоре) , при продолжении работы у того же работодателя, а также перевод на работу в другую местность вместе с работодателем. Перевод на другую работу допускается только с письменного согласия работника, за исключением случаев, предусмотренных частями второй и третьей статьи 72.2 настоящего Кодекса.

По письменной просьбе работника или с его письменного согласия может быть осуществлен перевод работника на постоянную работу к другому работодателю. При этом трудовой договор по прежнему месту работы прекращается (пункт 5 части первой статьи 77 настоящего Кодекса) .

Не требует согласия работника перемещение его у того же работодателя на другое рабочее место, в другое структурное подразделение, расположенное в той же местности, поручение ему работы на другом механизме или агрегате, если это не влечет за собой изменения определенных сторонами условий трудового договора.

Запрещается переводить и перемещать работника на работу, противопоказанную ему по состоянию здоровья.

Пишешь заявление о переводе. И приказом переводят. (если одобрят начальники)