на руках больничный лист, трудовой договор заканчивается 31 декабря 2010 года, 11 января обследование, требуют уволиться?

в силу ст. 183 ТК РФ листок временной нетрудоспособности подлежит оплате. О том же говорится и в п. 2 ст. 5 Федерального закона от 29.12.2006 N 255-ФЗ "Об обеспечении пособиями по временной нетрудоспособности, по беременности и родам граждан, подлежащих обязательному социальному страхованию".

А чего требовать? Срочный трудовой договор заканчивается 31.12.2010 г. , от работника даже заявления не надо, просто 31.12 на руки выдадут расчет и трудовую книжку с записью "уволен в связи с окончанием трудового договора". И то, что работник находится на больничном в данном случае не помеха для увольнения.
Больничный, если он получен в течение 30 дней со дня увольнения, имеете право предъявить к оплате этому работодателю.

вас уволить должны 31 декабря. Больничный еще в течении месяца обязаны будут принимтаь к оплате

Работадатель может уволить Вас по истечении срока трудового договора, заявление писать не надо.
Больничный Вам должны оплатить. Застрахованному лицу, заключившему срочный трудовой договор на срок до шести месяцев, а также застрахованному лицу, у которого заболевание или травма наступили в период со дня заключения трудового договора до дня его аннулирования, пособие по временной нетрудоспособности выплачивается не более чем за 75 календарных дней по этому договору.

Вас должны уволить 31.12., иначе трудовой договор станет бессрочным.
Но если вы больничный получите в течении 30 дней после увольнения, то вам его должны будут оплатить по прежнему месту работы, но только на 60%.

Ситуация из практики. Можно ли расторгнуть с работником срочный трудовой договор в период его временной нетрудоспособности?
В данной ситуации трудовой договор с работником можно расторгнуть и в период его временной нетрудоспособности, поскольку истечение срока трудового договора не относится к увольнению по инициативе работодателя.
В соответствии с ч. 6 ст. 81 ТК РФ не допускается увольнение работника по инициативе работодателя (за исключением случая ликвидации организации либо прекращения деятельности индивидуальным предпринимателем) в период его временной нетрудоспособности и пребывания в отпуске.
Истечение срока действия договора является одним из общих оснований расторжения трудового договора. Следовательно, работник может быть уволен в период временной нетрудоспособности, поскольку прекращение трудового договора в связи с истечением срока его действия не является инициативой работодателя.
Если срочный трудовой договор не будет прекращен в установленный срок, то согласно ст. 58 ТК РФ он будет считаться заключенным на неопределенный срок.

договор нужно читать, но вообще, если срок закончился, то без вариантов-вас моут уволить