Кто может брать на работе "детский день", в каких случаях, согласно какого нормативно-правового акта?

Только если ребенок - инвалид, или вы работаете в сельской местности.
Статья 262. ТК РФ Дополнительные выходные дни лицам, осуществляющим уход за детьми-инвалидами, и женщинам, работающим в сельской местности (в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)
Одному из родителей (опекуну, попечителю) для ухода за детьми-инвалидами по его письменному заявлению предоставляются четыре дополнительных оплачиваемых выходных дня в месяц, которые могут быть использованы одним из указанных лиц либо разделены ими между собой по их усмотрению. Оплата каждого дополнительного выходного дня производится в размере и порядке, которые установлены федеральными законами.
(в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ) Женщинам, работающим в сельской местности, может предоставляться по их письменному заявлению один дополнительный выходной день в месяц без сохранения заработной платы.

Статья 263.ТК РФ Дополнительные отпуска без сохранения заработной платы лицам, осуществляющим уход за детьми
Работнику, имеющему двух или более детей в возрасте до четырнадцати лет, работнику, имеющему ребенка-инвалида в возрасте до восемнадцати лет, одинокой матери, воспитывающей ребенка в возрасте до четырнадцати лет, отцу, воспитывающему ребенка в возрасте до четырнадцати лет без матери, коллективным договором могут устанавливаться ежегодные дополнительные отпуска без сохранения заработной платы в удобное для них время продолжительностью до 14 календарных дней. Указанный отпуск по письменному заявлению работника может быть присоединен к ежегодному оплачиваемому отпуску или использован отдельно полностью либо по частям. Перенесение этого отпуска на следующий рабочий год не допускается.
(в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)

Вам надо было уточнить, что Вы понимаете под детским днем. ТК РФ не содержит норм по так называемому "детскому" дню.

Законодательством такой день не предусмотрен. Это может быть на вашем предприятии коллективным договором введен дополнительный день отдыха для женщин, имеющих детей. Порядок предоставления смотрите в кол. договоре.

Возможно, издан какой-то нормативно-правовой акт в субъекте Федерации. Например, я знаю в Татарстане еще в 1991 году был принят документ (Постановление Совмина Республики) в соответствие с которым, работнице, имеющей ребенка до 16 лет, предоставляется 2 часа в неделю или один день в месяц частично или полностью оплачиваемый за счет средств работодателя. Естественно это должно быть прописано в коллективном договоре, как положение улучшающее положение работника по сравнению с действующим законодательством. Вот у них это и называется в народе "Мамин день" или "Детский день". А в трудовом кодексе, да 262 статья, касающаяся работников, имеющих детей-инвалидов.

прочитайте главу 41 ТК РФ, ст. 261-263, исчерпывающий ответ содержится там, но еще необходимо прочитать трудовой договор