Правомерно ли наложение дисциплинарного взыскания на следующий день после истечения месячного срока?

перечитайте внимательно ст. 193 ТК РФ, если что не так - иск в суд (срок 3 месяца с приказа, ст. 392 ТК РФ) или жалоба в ГИТ

Дисциплинарное взыскание применяется не позднее одного месяца со дня обнаружения проступка статья 193 ТК. Приказ (распоряжение) работодателя о применении дисциплинарного взыскания объявляется работнику под роспись в течение трех рабочих дней со дня его издания. Если работник отказывается ознакомиться с указанным приказом (распоряжением) под роспись, то составляется соответствующий акт. Акта нет, с приказом я не ознакомлен!!!! Должны быть взяты объясчнения

Зависит от причин такой задержки. Если в течение этого месяца проводилось полноценное служебное (дисциплинарное) расследование, то правомерно. Ну а если просто кто-то "только очухался", вспомнил, что Сидоров месяц назад опоздал на работу, и быстро наклепал приказ - обжалуйте вышестоящему начальнику (т. е. тому, кто начальник над начальником, подписавшим приказ) . Таким образом можно и до суда дойти, если не будет эффекта на местном уровне.
Вопрос в другом (чисто по-человечески) - стоит или это того. Взыскание, наложенное с нарушением сроков (о чем мы говорим сейчас) , и взыскание, наложенное за то, чего Сидоров не совершал на самом деле - две разные вещи. Ради второго случая есть смысл бороться. Ради нашего случая - не вижу такой необходимости.