как изменить запись, если ошибка в написании месяца рождения в трудовой

Постановление Правительства РФ от 16 апреля 2003 г. N 225 "О ТРУДОВЫХ КНИЖКАХ"
III. Внесение изменений и исправлений в трудовую книжку.
Дубликат трудовой книжки

26. Изменение записей о фамилии, имени, отчестве и дате рождения, а также об образовании, профессии и специальности работника производится работодателем по последнему месту работы на основании паспорта, свидетельства о рождении, о браке, о расторжении брака, об изменении фамилии, имени, отчества и других документов.

27. В случае выявления неправильной или неточной записи в трудовой книжке исправление ее производится по месту работы, где была внесена соответствующая запись, либо работодателем по новому месту работы на основании официального документа работодателя, допустившего ошибку. Работодатель обязан в этом случае оказать работнику при его обращении необходимую помощь.

28. Если организация, которая произвела неправильную или неточную запись, реорганизована, исправление производится ее правопреемником, а в случае ликвидации организации - работодателем по новому месту работы на основании соответствующего документа.

29. Исправленные сведения должны полностью соответствовать документу, на основании которого они были исправлены. В случае утраты такого документа либо несоответствия его фактически выполнявшейся работе исправление сведений о работе производится на основании других документов, подтверждающих выполнение работ, не указанных в трудовой книжке.

исправить, исправленному верить, печать, подпись и фио лица (кадровика)

Все записи (исправления) такого характера должны вносится на основании судебного решения, а то проблемы потом могут возникнуть. Проконсультируйся в суде, собери нужные документы и все будет нормально. Только не занимайся самодеятельность типа: исправлю и никто не узнает.