как изменить запись в трудовой книжке, если она сделана неправильно?

Любые организации, независимо от организационно-правовой формы обязаны сдавать документы в архив.

Постановление Минтруда РФ от 10 октября 2003 г. N 69
"Об утверждении Инструкции по заполнению трудовых книжек"

1.2. В разделах "Сведения о работе" и "Сведения о награждении" трудовой книжки зачеркивание ранее внесенных неточных, неправильных или иных признанных недействительными записей не допускается.
Например, при необходимости изменения конкретной записи о приеме на работу в разделе "Сведения о работе" после соответствующей последней в данном разделе записи указывается последующий порядковый номер, дата внесения записи, в графе 3 делается запись: "Запись за номером таким-то недействительна". После этого производится правильная запись: "Принят по такой-то профессии (должности) " и в графе 4 повторяется дата и номер приказа (распоряжения) или иного решения работодателя, запись из которого неправильно внесена в трудовую книжку, либо указывается дата и номер приказа (распоряжения) или иного решения работодателя, на основании которого вносится правильная запись.
В таком же порядке признается недействительной запись об увольнении, переводе на другую постоянную работу в случае признания незаконности увольнения или перевода самим работодателем, контрольно-надзорным органом, органом по рассмотрению трудовых споров или судом и восстановления на прежней работе или изменения формулировки причины увольнения. Например: "Запись за номером таким-то недействительна, восстановлен на прежней работе". При изменении формулировки причины увольнения делается запись: "Запись за номером таким-то недействительна, уволен (указывается новая формулировка) ". В графе 4 делается ссылка на приказ (распоряжение) или иное решение работодателя о восстановлении на работе или изменении формулировки причины увольнения.

Постановление Правительства РФ от 16 апреля 2003 г. N 225
"О трудовых книжках".
27. В случае выявления неправильной или неточной записи в трудовой книжке исправление ее производится по месту работы, где была внесена соответствующая запись, либо работодателем по новому месту работы на основании официального документа работодателя, допустившего ошибку. Работодатель обязан в этом случае оказать работнику при его обращении необходимую помощь.
28. Если организация, которая произвела неправильную или неточную запись, реорганизована, исправление производится ее правопреемником, а в случае ликвидации организации - работодателем по новому месту работы на основании соответствующего документа.
Если неправильная или неточная запись в трудовой книжке произведена работодателем - физическим лицом, являющимся индивидуальным предпринимателем, и деятельность его прекращена в установленном порядке, исправление производится работодателем по новому месту работы на основании соответствующего документа.
29. Исправленные сведения должны полностью соответствовать документу, на основании которого они были исправлены. В случае утраты такого документа либо несоответствия его фактически выполнявшейся работе исправление сведений о работе производится на основании других документов, подтверждающих выполнение работ, не указанных в трудовой книжке.
Свидетельские показания не могут служить основанием для исправления внесенных ранее записей, за исключением записей, в отношении которых имеется судебное решение, а также случаев, предусмотренных пунктом 34 настоящих Правил.
30. В разделах трудовой книжки, содержащих сведения о работе или сведения о награждении, зачеркивание неточных или неправильных записей не допускается.
Изменение записей производится путем признания их недействительными и внесения правильных записей.
В таком же порядке производится изменение записи об увольнении работника (переводе на другую постоянную работу) в случае признания увольнения (перевода) незаконным.

В архив, документы должны быть сохранены.

теоретически да, передают, но на практике крайне редко. Имейте решение суда под рукой и всё..показывайте, когда необходимо будет

Исправить неверную запись может следующий работодатель и заверить своей печатью.

Когда пойдете на пенсию придоставите им решение суда.