нужна помощь. Могут ли уволить мать-одиночку с работы при сокращении штатов?

Теоритически могут. Масса условий.

Могут только при условии, что ее ребенок старше 14 лет

Ваш случай может подойти под ст. 179 ТК РФ. Но нужны доказательства, потому что могут быть и равные вам по статусу, кто тоже имеет право на преимущественное оставление на работе. Теоретически в этой статье вы укладываетесь в целых 2 условия. Но их надо доказать работодателю.

Могут! Но имеются преимущественное право!
Статья 179. Преимущественное право на оставление на работе при сокращении численности или штата работников
При сокращении численности или штата работников преимущественное право на оставление на работе предоставляется работникам с более высокой производительностью труда и квалификацией.
При равной производительности труда и квалификации предпочтение в оставлении на работе отдается: семейным - при наличии двух или более иждивенцев (нетрудоспособных членов семьи, находящихся на полном содержании работника или получающих от него помощь, которая является для них постоянным и основным источником средств к существованию) ; лицам, в семье которых нет других работников с самостоятельным заработком; работникам, получившим в период работы у данного работодателя трудовое увечье или профессиональное заболевание; инвалидам Великой Отечественной войны и инвалидам боевых действий по защите Отечества; работникам, повышающим свою квалификацию по направлению работодателя без отрыва от работы.

Комментарий ГАРАНТа
Преимущественное право на оставление на работе установлено также в ряде федеральных законов

Коллективным договором могут предусматриваться другие категории работников, пользующиеся преимущественным правом на оставление на работе при равной производительности труда и квалификации.
Комментарий ГАРАНТа
См. комментарии к статье 179 Трудового кодекса РФ

Статья 180. Гарантии и компенсации работникам при ликвидации организации, сокращении численности или штата работников организации
При проведении мероприятий по сокращению численности или штата работников организации работодатель обязан предложить работнику другую имеющуюся работу (вакантную должность) в соответствии с частью третьей статьи 81 настоящего Кодекса.
О предстоящем увольнении в связи с ликвидацией организации, сокращением численности или штата работников организации работники предупреждаются работодателем персонально и под роспись не менее чем за два месяца до увольнения.
Работодатель с письменного согласия работника имеет право расторгнуть с ним трудовой договор до истечения срока, указанного в части второй настоящей статьи, выплатив ему дополнительную компенсацию в размере среднего заработка работника, исчисленного пропорционально времени, оставшемуся до истечения срока предупреждения об увольнении.

существует перечень работников, которых нельзя уволить в такой ситуации, это – женщины, находящиеся в отпуске по уходу за ребенком (ст. 265 ТК РФ) ; беременные женщины; женщины, имеющие детей до трех лет; одинокие матери, воспитывающие ребенка в возрасте до 14 лет (ребенка-инвалида до 18 лет) ; другие лица, воспитывающие детей в возрасте до 14 лет (ребенка-инвалида до 18 лет) без матери (ст. 261 ТК РФ).