Имеет ли право работодатель уволить мать-одиночку по сокращению штатов?

Нет, если мать-одиночка воспитывает ребенка до 14 лет или ребенка-инвалида до 18 лет (п. 2 ч. 1 ст. 81, ч. 4 ст. 261 ТК РФ). В остальных случаях уволить мать-одиночку можно.

Да, но должен соблюсти вышеуказанное право и должен предложить все другие имеющиеся должности

Статья 179. Преимущественное право на оставление на работе при сокращении численности или штата работников

При сокращении численности или штата работников преимущественное право на оставление на работе предоставляется работникам с более высокой производительностью труда и квалификацией.

При равной производительности труда и квалификации предпочтение в оставлении на работе отдается: семейным - при наличии двух или более иждивенцев (нетрудоспособных членов семьи, находящихся на полном содержании работника или получающих от него помощь, которая является для них постоянным и основным источником средств к существованию); лицам, в семье которых нет других работников с самостоятельным заработком; работникам, получившим в период работы у данного работодателя трудовое увечье или профессиональное заболевание; инвалидам Великой Отечественной войны и инвалидам боевых действий по защите Отечества; работникам, повышающим свою квалификацию по направлению работодателя без отрыва от работы.
(в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)
Коллективным договором могут предусматриваться другие категории работников, пользующиеся преимущественным правом на оставление на работе при равной производительности труда и квалификации.

имеет

Может, если она единственная в такой статусе и в данной должности.

К сожалению, скорее да.