Если на работе умышленно задерживают отпуск, что делать и куда обращаться - какие у меня права?

Если заявление подписано, вы должны подписать приказ об отпуске. если такого пиказа вам не дают, просите копию подписанного заявления и в труд. инспекцию.
А разделение отпуска на части по инициативе рабтодателя НЕ ДОПУСКАЕТСЯ.

в гос. труд. инспекцию

отпуск предоставляется по графику. Обратитесь в трудинспекцию.

Отпуска должны предоставляться согласно графика. Самостоятельно без вашего участия и согласия вне плана они делить вам его не имеют права. По закону одна часть отпуска должна быть не меньше 2 недель. Но остальные вы имеете право брать хоть месяц, хоть неделю. Лишь бы это было по графику. Рассчитать вам отпуск и издать приказ обязаны не позднее 3 днях с даты его начала. Если работник не желает, чтоб ему именно в этот раз делили отпуск на части, то это право работника. Но в один из отпусков вы должны взять именно 2 недели подряд, таково требование закона. Всё зависит от оставшегося у вас количества отпусков за отпускной период. Подайте заявление и ждите результата. Если его не последует и они будут волокитить, напишите бумагу в прокуратуру. А уж если настроились уволиться, то подкиньте им хорошенькую свинью: напишите заявление об увольнении внезапно, не предупреждая и одновременно требование о полном расчете с выплатой накопившихся отпусков. Они обязаны будут сделать это в день увольнения. Но учтите, что у работодателя есть 2 недели с момента получения вашего заявления, в течение которых вы обязаны работать. Но зато в этом случае появится гарантия, что хоть уволитесь с деньгами. Ведь если не заплатят при увольнении, вам всё это плюс моральный вред компенсируют по суду. Вот тогда они быстро научатся и в отпуска сотрудников вовремя отправлять и относиться к ним уважительно.