как уволиться правильно?

Описанная вами ситуация - к сожалению, характерна для всех госучреждений и особенно на госслужбе. Там просто вымогательство денег за должности, море беременных, их ставки продаются, не лучше дела и в коммерческих организациях. Те большей частью неплатежеспособны, денег у них ни на что (кроме коммунальных услуг и аренды) нет, на зарплаты тоже, но наивных лошков они успешно нанимают на серые схемы и на устные обещания. Вам надо срочно увольняться. Просто немедленно. Сейчас все ваши добрые коллеги летом начнут в отпуска уходить, а вы будете в этом аду с утра до ночи вкалывать. Срочно пишите заявление по собственному желанию и, стиснув зубы, проработайте 2 недели от даты, когда ваше заявление будет зарегистрировано в отделе кадров. Ну а на эти 2 недели можете спокойно пойти к неврологу и взять больничный, рассказав все описанные симптомы. Таким образом, выйдете с больничного и этот день будет днем расчета. Если будут вопросы - пишите. Не дадим вас обидеть.

Согласно ч. 1 ст. 22 Трудового кодекса РФ работодатель имеет право заключать, изменять и расторгать трудовые договоры с работниками в порядке и на условиях, которые установлены данным Кодексом и иными федеральными законами. Это означает, что он вправе требовать от работника соблюдения установленного ч. 1 ст. 80 ТК РФ правила о предупреждении в письменной форме работодателя о намерении расторгнуть трудовой договор не позднее чем за две недели до планируемой даты прекращения трудовых отношений. Поэтому Вам необходимо подать заявление на увольнение и выдержать эти две недели. За это время ищите работу и Вы обязательно ее найдете.

2 недели все же придется отработать
верней, как в законе: предупредить работодателя за 2 недели до увольнения в письменной форме
тут ничего не поделаешь - придется потерпеть
на всяк случай - заявление в 2-х экземплярах: на одном отдел кадров, или руководитель ставит печать, дату, подпись - и этот экземпляр держите у себя, второй естессно подаете в отдел кадров...

Никаких сложностей, если решили, то надо уходить. Напишите заявление по собственному желанию. Со следующего дня с момента подачи заявления надо будет отработать 14 дней. Можно не отрабатывать: пойти на больничный, срочно выехать в другой город.. .
P.S. Хотя одна сложность все-таки есть - найти новую работу.

проще простого, опаздывайте на работу, при этом стройте из себя "невинную овечку",плохо справляйтесь с делами, вообщем отпустите ситуацию из под контроля, делайте всё возможное чтобы вами были недовольны все. вас уволят. если пр этом ещё и расчитают, но как вы говорите зарплата мизерная, то можно и не тратить время на копейки. а если вы боитесь за свою репутацию, как о хорошем сотруднике, то надо конечно же применять другие методы, написать заявление об увольнении по собственному желанию и прямиком в кабинет директору.

Уволиться необходимо, но отработка в течение 14 календарных дней - требование российского законодательства: за этот период обязаны подобрать замену на Ваше место труда. Удачи, не унывайте! Всё получиться.