КАК правильно продлить трудовой договор с работником?

В вашей организации конечно есть нарушения при приеме на работу. Я предлагаю следующий выход из данной ситуации. Действительно, срочный трудовой договор не продлевается, и если работник по окончании срока действия договора продолжает работать, то данный договор считается заключенным на неопределенный срок. Поэтому как вариант, в первый рабочий день после окончания срока действия срочного договора (когда договор начинает считаться постоянным) составьте с работником договор о соглашении сторон, в котором вы прописываете, что такого-то числа действие трудового договора прекращается по соглашению сторон. Оспорить в суде такое соглашение затруднительно - ведь стороны взаимно договариваются.

Заключенный срочный трудовой договор невозможно продлить (исключение-продление на срок окончания беременности) . Часть 4 ст. 58 ТК РФ содержит специальное правило о том, что если ни одна из сторон не потребовала расторжения срочного трудового договора в связи с истечением срока его действия и работник продолжает работу, условие о срочном характере договора утрачивает силу и трудовой договор считается заключенным на неопределенный срок. Таким образом, в случае заключения срочного трудового договора либо он может быть расторгнут в связи с истечением срока его действия, либо стороны продолжат трудовые отношения на бессрочной основе.
P.S. если трудовой договор заключается на срок менее 2 месяцев, испытательный срок вообще не предусматривается ( ст. 70 ТК РФ) . Условие об испытании устанавливается при заключении трудового договора один раз и не может быть продлен. Если условия испытания неудовлетворительные, то сотрудника увольняют по ч. 1 ст. 71 ТК РФ.

странные у вас однако трудовые взаимоотношения-данный работник не попадает под условия срочного договора-значит у вас бессрочный договор, так-что смотрите может и проверка придти и тогда Вы попадете на такие штрафы что мама не горюй (пламенный привет Вашему юристу и кадровику и удачи она скоро им понадобится)

ТК продление ср. труд. договора не предусматривает, но и не запрещает, поэтому на ваш выбор. В любом случае уведомляем за 3 дня работника об увольнении и берем заявление о продлении срока действия договора на 1 мес. или о приеме на работу на 1 мес. Но продлять бесконечно нельзя- помните максимальный срок срочного договора 5 лет. Я советую оформить допсоглашение, хотя спросите у бухгалтера, как у вас работает программа, возможно там нет такой функции, а только прием-увольнение.