Работодатель заставляет отрабатывать не заключив трудовой договор с работником

Нет договора, значит и нет оснований у работодателя что либо от вас требовать, в том числе нет необходимости в заявлении об увольнении. Если вы конечно не хотите судиться пол года за не выплаченную з/п за 3 -4 дня. Тот факт, что ваша жена подписала договор материальной ответственности, еще не свидетельствует о том, что ее приняли на работу, так что фактически она на работу не принята. В суде работодателю придется доказывать, что ваша жена у него работала, а это является признанием, что он нарушил трудовые права вашей супруги, не заключил с ней трудовой договор. На этом основании вы можете требовать от работодателя восстановление прав работника (заключения трудового договора, выплаты з/п и компенсации морального вреда) . закон будет на вашей стороне в данном случае.

Так ведь и размер зарплаты был оговорен в устной форме. Ваша жена имеет полное право требовать составления письменного договора в соответствии с устным

Не теряйте время: напишите заявление об увольнении по с/желанию и отсчитайте 2 недели- все увольнение состоялось. Если эти условия НЕ будут соблюдены: работодатель может уволить вашу жену за прогул

Согласно ст. 67 ТК РФ трудовой договор заключается в письменной форме, составляется в двух экземплярах, каждый из которых подписывается сторонами. Если же трудовой договор не был оформлен в письменной форме, но работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его представителя, то трудовой договор считается заключенным. В этом случае работодатель обязан оформить с данным работником трудовой договор в письменной форме не позднее трех рабочих дней со дня фактического допущения работника к работе.

Ст. 67 ТК РФ
При фактическом допущении работника к работе работодатель ОБЯЗАН оформить с ним трудовой договор в письменной форме не позднее трех рабочих дней со дня фактического допущения работника к работе, а если отношения, связанные с использованием личного труда, возникли на основании гражданско-правового договора, но впоследствии были признаны трудовыми отношениями, - не позднее трех рабочих дней со дня признания этих отношений трудовыми отношениями, если иное не установлено судом.
Статья 61 ТК РФ
Если работник не приступил к работе в день начала работы, установленный в соответствии с частью второй или третьей настоящей статьи, то работодатель имеет право аннулировать трудовой договор. Аннулированный трудовой договор считается незаключенным.

Составьте претензию на выплату заработной платы указанной в интернете. Сходите к нотариусу и заверьте текст страницы в интернете. Все это приложите к претензии. Думаю они выплатят в полном объеме. Т. к. в противном случае можете это оспорить через суд.