Обязан ли (должен ли) начальник (руководитель) предприятия отвечать на (зарегистрированные) заявления работника...

Вопрос Ваш так и будет висеть без ожидаемого Вами ответа, т. к. действующее трудовое законодательство РФ такой обязанности работодателя перед работником не предусматривает. Не ищите напрасно.
Существует Федеральный закон от 2 мая 2006 г. N 59-ФЗ "О порядке рассмотрения обращений граждан Российской Федерации" (с изменениями и дополнениями) .
Однако, сфера применения этого закона закреплена в его первой статье и регулирует этот закон правоотношения, связанные с реализацией гражданином Российской Федерации (далее также - гражданин) закрепленного за ним Конституцией Российской Федерации права на обращение в государственные органы и органы местного самоуправления, а также устанавливается порядок рассмотрения обращений граждан государственными органами, органами местного самоуправления и должностными лицами.
Здесь работодателя можно было бы рассматривать как должностное лицо, однако, и это не подходит, т. к. в контексте редакции этого закона его п. 5 ст. 4 рассматривает должностное лица, как лицо, постоянно, временно или по специальному полномочию осуществляющее функции представителя власти либо выполняющее организационно-распорядительные, административно-хозяйственные функции в государственном органе или органе местного самоуправления.
Но нет худа без добра… В моей практике был случай, когда на два письменных обращения работника о предоставлении ему отпуска работодатель никак не прореагировал. Работник подал иск в суд о признании действий работодателя дискриминационными и выиграл этот суд. С работодателя содрали солидный моральный ущерб. И это, по-моему, правильно, т. к. отсутствие надлежащей реакции (пусть, даже, негативной) к обращениям работника со стороны работодателя, есть ни что иное, как дискриминация.

есть такое Типовое Положение о ведении делопроизводства по предложениям, заявлениям и жалобам граждан в государственных учреждениях, иных предприятиях и пр. независимо от форм собственности. Вот там многое сказано

обязан