могут ли уволить работника, если на производстве нет легкого труда?

нет, разумеется. Работодатель обязан организовать легкий труд работнику. это не требует оформления перевода на другую ставку

Не боись, не уволят!
Нет легкого труда, займется потихоньку тяжелым!
Рекомендация - это не обязанность.

скорее всего у администрации нет желания найти выход из этого положения а уволить не могут

Захотят уволят. Хозяин-Барин.

По ТК - не имеют права. На деле возможно всё.

Да могут. есть такая статья в ТК РФ.
Статья 77. Общие основания прекращения трудового договора

Основаниями прекращения трудового договора являются:
1) соглашение сторон (статья 78 настоящего Кодекса) ;
2) истечение срока трудового договора (статья 79 настоящего Кодекса) , за исключением случаев, когда трудовые отношения фактически продолжаются и ни одна из сторон не потребовала их прекращения;
3) расторжение трудового договора по инициативе работника (статья 80 настоящего Кодекса) ;
4) расторжение трудового договора по инициативе работодателя (статьи 71 и 81 настоящего Кодекса) ;
5) перевод работника по его просьбе или с его согласия на работу к другому работодателю или переход на выборную работу (должность) ;
6) отказ работника от продолжения работы в связи со сменой собственника имущества организации, с изменением подведомственности (подчиненности) организации либо ее реорганизацией (статья 75 настоящего Кодекса) ;
7) отказ работника от продолжения работы в связи с изменением определенных сторонами условий трудового договора (часть четвертая статьи 74 настоящего Кодекса) ;
8) отказ работника от перевода на другую работу, необходимого ему в соответствии с медицинским заключением, выданным в порядке, установленном федеральными законами и иными нормативными правовыми актами Российской Федерации, либо отсутствие у работодателя соответствующей работы (части третья и четвертая статьи 73 настоящего Кодекса) ;
9) отказ работника от перевода на работу в другую местность вместе с работодателем (часть первая статьи 72.1 настоящего Кодекса) ;
10) обстоятельства, не зависящие от воли сторон (статья 83 настоящего Кодекса) ;
11) нарушение установленных настоящим Кодексом или иным федеральным законом правил заключения трудового договора, если это нарушение исключает возможность продолжения работы (статья 84 настоящего Кодекса) .
(часть первая в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)