Имеет ли право руководитель государственного предприятия понизить в должности беременную женщину?

Такие действия руководителя не основаны на законе
Должность, а, следовательно, и Должностная инструкция работника, регламентирующая и конкретизирующая его должностную функцию, является неотъемлемой частью трудового договора, заключенного работником с работодателем. Должность - это важнейшее из существенных условий трудового договора (ст. 57 ТК РФ) , а изменение определенных сторонами условий трудового договора допускается только по соглашению сторон трудового договора (ст. 72 ТК РФ) .
Однако, хозяин – барин. Это я о работодателе.
Он может для оптимизации выполнения организацией уставных целей и задач перекраивать штатное расписание, в том числе и форму оплаты труда. В соответствие со статьей 74 Трудового кодекса РФ в случае, когда по причинам, связанным с изменением организационных или технологических условий труда (изменения в технике и технологии производства, структурная реорганизация производства, другие причины) , определенные сторонами условия трудового договора не могут быть сохранены, допускается их изменение по инициативе работодателя, за исключением изменения трудовой функции работника.
О предстоящих изменениях определенных сторонами условий трудового договора, а также о причинах, вызвавших необходимость таких изменений, работодатель обязан уведомить работника в письменной форме не позднее чем за два месяца.
Если работник не согласен работать в новых условиях, то работодатель обязан в письменной форме предложить ему другую имеющуюся у работодателя работу (как вакантную должность или работу, соответствующую квалификации работника, так и вакантную нижестоящую должность или нижеоплачиваемую работу) , которую работник может выполнять с учетом его состояния здоровья. При этом работодатель обязан предлагать работнику все отвечающие указанным требованиям вакансии, имеющиеся у него в данной местности. Предлагать вакансии в других местностях работодатель обязан, если это предусмотрено коллективным договором, соглашениями, трудовым договором.
При отсутствии указанной работы или отказе работника от предложенной работы трудовой договор прекращается в соответствии с пунктом 7 части первой статьи 77 настоящего Кодекса.
При этом работнику в соответствие с ч. 3 ст. 178 Трудового кодекса РФ выплачивается пособие в размере двухнедельного среднего заработка.

Если есть веская причина, то может.

имеет. Уволить - нет.

понизить да, уволить нет, но это опять же смотря на каком предприятии, эт на совесть