Можно ли прописать в трудвом договоре, что работник обязан предупредить об увольнении за месяц?

если этот работник является руководителем организации
ТК РФ
Статья 280. Досрочное расторжение трудового договора по инициативе руководителя организации
Руководитель организации имеет право досрочно расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя (собственника имущества организации, его представителя) в письменной форме не позднее чем за один месяц.

есть ст. 80 ТК РФ, где четко сказано, что работник должен предупреждать работодателя не позднее, чем за 2 недели до даты увольнения. обязать работника предупреждать раньше установленного законом срока вы не имеете права.

Можно, но этот пункт не будет иметь никакой юридической силы, т. к. противоречит Тк РФ.
+ если инспекция по труду увидит этот пункт (а они всегда просматривают договоры) , то укажет на ошибку и вынесет предписание изменить.

Статья 8. Локальные нормативные акты, содержащие нормы трудового права

Нормы локальных нормативных актов, ухудшающие положение работников по сравнению с установленным трудовым законодательством и иными нормативными правовыми актами, содержащими нормы трудового права, коллективным договором, соглашениями, а также локальные нормативные акты, принятые без соблюдения установленного статьей 372 настоящего Кодекса порядка учета мнения представительного органа работников, не подлежат применению. В таких случаях применяются трудовое законодательство и иные нормативные правовые акты, содержащие нормы трудового права, коллективный договор, соглашения.

Статья 80. Расторжение трудового договора по инициативе работника (по собственному желанию)

Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен настоящим Кодексом или иным федеральным законом.

Статья 56. Понятие трудового договора. Стороны трудового договора

Трудовой договор - соглашение между работодателем и работником, в соответствии с которым работодатель обязуется предоставить работнику работу по обусловленной трудовой функции, обеспечить условия труда, предусмотренные трудовым законодательством и иными нормативными правовыми актами, содержащими нормы трудового права, коллективным договором, соглашениями, локальными нормативными актами и данным соглашением.

нет, это незаконно

Можно, это закону не противоречит.

прописать можно, но в данном случае указанный вами срок (1 месяц) противоречит нормам Трудового кодекса, а в случае противоречия применяться будут нормы ТК РФ