Могу ли взять больничный на время болезни внука, если родители работают?Будет ли оплачен больничный?

Да, это Ваше право. Оформляйте листок нетруспособности на себя и предъявляйте его к оплате в бухгалтерию.

еще свидетельство о рождении внука не забудьте приложить

Листок нетрудоспособности по уходу за ребёнком может быть выдан одному из членов семьи, который фактически осуществляет уход (Приказ Министерства здравоохранения и социального развития РФ от 29 июня 2011 г. N 624н
"Об утверждении Порядка выдачи листков нетрудоспособности"), если он является застрахованным лицом.
Если бабушка, работающая по трудовому договору и проживающая совместно по одному адресу с внуком, станет ухаживать за больным внуком, она имеет право на пособие по временной нетрудоспособности.

Да, оплачивать.
Застрахованному лицу, осуществляющему уход за больным членом семьи, п. 2 ч. 1 ст. 5 Закона N 255-ФЗ предусмотрена выплата пособия по временной нетрудоспособности.
Кого считать членом семьи? Напомним, что к членам семьи относятся (ст. 2 и гл. 15 Семейного кодекса Российской Федерации от 29.12.1995 N 223-ФЗ) :
- родители (усыновители) ребенка (как пенсионеры, так и работающие) и дети (в том числе усыновленные) независимо от возраста (как учащиеся, неработающие, так и работающие) ;
- другие родственники, например братья и сестры, бабушки и дедушки. Последним листок нетрудоспособности по уходу за больным ребенком выдается, если они являются застрахованными лицами;
- иные лица (например, опекуны или попечители) .
Поскольку бабушка, работающая по трудовому договору, стала ухаживать за больным внуком, она имеет право на пособие по временной нетрудоспособности.