Как можно уволиться не отрабатывая 2 недели, сразу после написания заявления могу ли я быть свободной?

Есть случаи, когда работодатель может (но не обязан! ) подписать ваше заявление в день подачи. Например, если вы устраиватесь на другое место и вам нужно срочно приступать к работе; если вы ложитесь в больницу на операцию или плановое лечение; если вы уезжаете в другой город на ПМЖ. Все эти обстоятельства, если вы на них ссылаетесь в своем заявлении, нужно подтвердить документально. Я дважды так увольнялась, оба начальника вошли в положение, никто препятствий не чинил, хотя на одном из этих мест с моим уходом образовалась "дыра", которую некем было быстро заткнуть. Тем не менее, везде работают люди, а не звери, и все готовы войти в ваше положение - если вы сами не разговариваете с позиций гонора и "качания прав".

нет, сразу после написания заявления вы не можете быть свободны. трудовое законодательство еще ни кто не отменял.
Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен настоящим Кодексом или иным федеральным законом. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении. (ст. 80 ТК РФ)

По соглашению сторон трудовой договор может быть расторгнут в любой момент.

уйти в отпуск или на больничный

Попробуйте это сделать по договоренности с руководством при условии что Вы не материально ответственное лицо, в противном случае физически не успеете передать мат. ценности. И потом не путайте. Не отработка 2 недели. Трудовой Кодекс требует предупреждать работодателя о своем намерении уйти за 2 недели, чтобы он в это время мог найти Вам замену. А сегодня замену найти порой достаточно просто.

не можете, если хотите в дальнейшем устроиться официально а уволиться без внесения в трудовую книжку "не нужных записей",лучше, отработайте

Поражает людская лень. Откройте хотя бы один раз за свою жизнь КЗОТ. Почему в советское время, когда были профсоюзы и парткомы, люди знали КЗОТ?

Только если работодатель согласится сразу уволить.

уйти на больничный..