дать отпуск после полугода работы это право или обязанность работодателя?

Это право работодателя. Правило, предусмотренное ч. 2 ст. 122 ТК РФ, означает, что через шесть месяцев работник заработал себе право на использование отпуска, и этот отпуск ему должен быть предоставлен до окончания рабочего года.
Поскольку в законе не указано, что отпуск предоставляется или что отпуск должен быть предоставлен по истечении шести месяцев, то данную норму не следует рассматривать, как императивную, т. к. в тех случаях, когда законодатель возлагает на работодателя обязанность предоставления отпуска, в законе используется формулировка «предоставляется» или «должен быть предоставлен» (например, в ч. 1 и ч. 3 ст. 122 ТК РФ) , а в ч. 2 ст. 122 ТК РФ такая обязанность для работодателя не предусмотрена. Те категории работников, которым работодатель обязан предоставить отпуск по заявлению в удобное для них время четко определены в законе, а вновь принятые работники там не указаны.
При приеме на работу нужно согласовать с работодателем время использования первого отпуска. И этот момент должен наступить до конца первого рабочего года, поскольку согласно ч. 1 ст. 122 ТК РФ оплачиваемый отпуск должен предоставляться работникам ежегодно.
По соглашению сторон оплачиваемый отпуск Вам может быть предоставлен и через шесть месяцев продолжительностью 28 календарных дней.

Если у работника вознакается право, то у работодателя возникает обязанность. Значит надо отправить работника в отпуск по истечении 6 месяцев работы.

К сожалению, это только право.

закон законом, все вопросы по поводу сроков предоставления отпуска лучше согласовывать с работодателем.

Работодатель обязан предоставить отпуск работнику, отработавшему 6 месяцев по ЕГО ПРОСЬБЕ. Нет требования от работника - отпуск пока не предоставляется. Если такое требование не поступает до истечения 11 месяцев работы - работодатель обязан отправить работника в отпуск,

обязанность так как по трудовому кодексу положен отпуск

обязанность

отпуск через полгода это по закону !!!