В каких случаях может иметь знаение непрерывный стаж? И вообще, существует ли сейчас в законодательстве такое понятие?

Понятие такое существует. Но с 2005 года оно полностью утратило своё юридическое значение. Последним явлением, где фигурировал непрерывный трудовой стаж, была оплата больничных листов. Но с 2005 года б/л начали оплачивать только по общему стажу, т. е. даже сложенному из маленьких отрезочков работы на разных предприятиях, невзирая на перерывы в работе. Непрерывный трудовой стаж сейчас может фигурировать только в локальных нормативных актах отдельных работодателей для получения определенных льгот или поощрений. Например, в ОАО "РЖД" он влияет на получение и размер вознаграждения "за преданность компании", выплачиваемого раз в несколько лет.

Существует, например в медицине. Для оплаты больничных и для назначения пенсии значение имеет страховой стаж. Согласно п. 1 ст. 16 Закона N 255-ФЗ размер пособия по временной нетрудоспособности теперь зависит не от непрерывного трудового стажа, а от страхового стажа, в который включаются периоды работы застрахованного лица по трудовому договору, государственной гражданской или муниципальной службы, а также периоды иной деятельности, в течение которой гражданин подлежал обязательному социальному страхованию на случай временной нетрудоспособности и в связи с материнством.
При этом страховой стаж рассчитывается не непрерывно (как непрерывный трудовой стаж) , а суммарно, то есть путем сложения указанных периодов, в течение которых гражданин подлежал обязательному социальному страхованию, независимо от перерывов между данными периодами.
Таким образом, теперь совершенно не важно, прерывался стаж или нет - при расчете страхового стажа суммируются все периоды работы, даже если между ними были значительные промежутки времени.

Понятие существует, но не влияет вообще ни на что.

При ,, Союзе " это отражалось при оплате больничных листов

В настоящее время используется термин страховой период - те периоды трудовой деятельности, в которые работодателем (или ЧП, ИП) производилось отчисление денежных средств в различные фонды в первую очередь - пенсионный.