Если отказываются подписать заявление на увольнение, как воздействовать?

У меня такая ситуация: по трудовой книжке - я работаю преподавателем (обучение персонала) в одном институте. А фактически - меня формально взяли в этот институт для того чтобы я работал всё время в Министерстве, с которым у данного института заключен госконтракт. Но нигде, ни в каких документах (насколько я знаю), не оговорено, что меня командируют в Министерство. Везде сказано, что я работаю в Институте преподавателем.

Собственно, я устраивался в институт, не скрывая, что в моих планах остаться на работе в Министерстве, куда меня направят, не позже лета этого года. Но обстоятельства сложились так, что Министерство, где я работаю фактически, в начала лета скорее всего либо расформируют, либо преобразуют в другую структуру. В связи с этим все в Министерстве хотят побыстрее избавиться от всего, что на них "висит". И на меня навалили огромную кучу работы, которая никак не связана с моей специальностью. Это самая грязная и тяжелая работа, заниматься которой у меня нет ни желания, ни нервов (ибо каждый день - скандалы и ругань с начальством, которое подгоняет, хотя знает, что это быстро сделать ну никак нельзя).

Я подумал: я же не раб, могу взять и запросто уволиться. Но тут вот какие штуки могут наверняка случиться:

1) люди, у которых я работаю в Министерстве (министерское начальство), узнав о том, что я ухожу, позвонит начальству института, где я числюсь по трудовой, и скажет: "Не подписывайте ему заявление на увольнение, пока он всю работу, что мы говорим, не сделает!" И есть такой вариант, что начальство института, где я фактически работаю по трудовой, скажет: "Давай-ка сначала доделай свою работу в Министерстве, а потом и приходи к нам со своим заявлением, а сейчас мы тебе ничего не подпишем".

2) Еще вариант может быть: я приду в институт, где оформлен по трудовой, а тамошнее институтское начальство скажет: "Ну мы не против подписать тебе заявление, а скажи: твое начальство в Министерстве согласно с твоим уходом? Пусть они свои визы "Не возражаю" на твоем заявлении оставят, мы тогда тебе подпишем тоже".

Теперь такой вопрос: как мне быть в этих двух случаях, что отвечать? И какие препоны они мне могут сделать, чтобы не дать уволиться, пока я не разгребу их хлам (то бишь, не сделаю дело, которые они взвалили на меня)?

И еще вопрос: 2 недели обязательно отрабатывать? Я знаю, что это вроде бы на усмотрение администрации. Нельзя ли как-нибудь сделать, чтобы без отработки двух недель уволиться?

Огромное спасибо всем, кто поможет с ответами. Единственная просьба: друзья, пожалуйста, ОЧЕНЬ прошу - отвечайте те, кто ДЕЙСТВИТЕЛЬНО знает, а не просто хочет поприкалываться или высказать свои предположения. Еще раз спасибо за понимание.