могу ли я сделать запись в трудовой, исполнительный директор т. к я являюсь вторым учредителем, первый является директором

Просто так, являясь исп. директором? Конечно и однозначно - НЕТ! И Ваше учредительство здесь совершенно ни при чем. Записи в тр. кн. имеет право делать только СПЕЦИАЛЬНО УПОЛНОМОЧЕННОЕ на это лицо. Хоть главбух... Если Вас уполномочит ген. директор, (основные Приказы по предприятию кто у вас подписывает? чай не вдвоем или втроем с коммерческим...)) , руководитель, то ради Бога, вносите запись. Если нет, замучаетесь ходить по тр. инспенкциям на разборки.
Приказ должен быть. Примерно вот такой формы:
Приказ ...2013 г. № ...

О возложении обязанностей по ведению, хранению, учету и выдаче трудовых книжек

Во исполнение пункта 45 Правил ведения и хранения трудовых книжек, изготовления бланков трудовой книжки и обеспечения ими работодателей, утвержденных постановлением Правительства Российской Федерации от 16 апреля 2003 г. № 225,

Приказываю:

Возложить обязанности по ведению, хранению, учету и выдаче трудовых книжек работников ООО ...на ...
Ознакомить ...с настоящим приказом под роспись.

Директор______________ ...

С приказом ознакомлен (а)
«....» ...2013 года______....

Сделать запись может кадровик ( человек ведущий кадровый учет)
На основании Приказа о приеме вас на работу на должность ИспДиректора.

Можно. Приказ о назначении и протокол собрания учредителей.

сделать запись можно, нужен только совет учредителей на котором принято решение о назначении на эту должность

вообще-то записи в трудовой книжке делает специалист по кадрам