Оспариваю увольнение за прогулы. А как восстановиться, взыскать оплату вынужденного прогула И НЕ ВЫХОДИТЬ на работу?

очень просто, в исковом заявлении не просите о восстановлении на работе, а об изменении записи на увольнение по собственному желания и даты увольнения или выдачи дубликата трудовой книжки с указанными записями

сам по себе факт пребывания в другом городе не считается уважительной причиной отсутсвия на работе. Инача любой работник бы смог в любое время по своим делам куда то съездить и привезти бумажку о нахождении в другом городе. Уважительными причинами считатся лист нетрудоспособности, справка о нахождении у врача, повестка в суд, вызов на военные сборы, если у Вас например прорвало канализаци и водопровод и Вы не можете выйти на работу, а потом несете справку из ЖЕКа.
В Вашей ситуации мне не видится, что суд будет на Вашей стороне. и, то, что Вы отказались от ознакомления с актом отсутсвия на работе, не играет никакой роли. Главное чтобы 2-3 работника подтвердили письменно, что Вы отказались от ознакомления ( обычно составляется новый акт)

Тут не всё так просто. За прогулы, что бы уволить, должна быть подписана бумага лично Вами, что да, прогуляла по неуважительной причине. Если причина уважительная, то должны быть соответствующие бумаги (больничный, повестка в суд и прочее) .
Но что-то мне подсказывает, что Вы не можете предоставить обоснование прогулов и работодателя ооочень сильно подставили. Да, даже если через суд выиграете, то, уверяю, это Вам испортит всю жизнь