Кто должен отстранить работника от работы за сдачу экзамена по ТБ : непоседственный руководитель или инжинер по ТБ.

ну если уж такая маза пошла на счет чей козырь старше, то всё просто решается - работник направлятся в учебный центр и всё. Либо и там не сдаст по билетам с вариантами ответов и тогда надо точно что то менять, либо действительно инженер по охране труда быкует :)
Вообще-то обучение проводит руководитель структурного подразделения, а инженер по охране труда у него заместо секретаря, чтоб правильно всё оформить. И если руководитель решает что работник достаточно обладает знаниями и берет на себя ответственность, расписываясь в ведомости, то инженер по охране труда идет курить.
А что это за круть такая, устная проверка знаний? На атомной станции что ли работаете?

Не понятно одно: Почему он не может сдать его? Его не отпускают чтоли?

Отстранить от работы может только работодатель ( ст. 76 ТК РФ) , на имя которого инженер по охране труда подаст служебную записку. А то, что Вы не можете сдать экзамены по охране труда.. . Что сказать: или не готовитесь, или руководитель структурного подразделения ( что он обязан делать! ) не проводит с Вами положенные занятия по утвержденным програмам.

Я 3 раза сдавал один экзамен по ТБ ( для электрика ) После 2-го раза, понял, что одно слово сказаное не так, запарывает весь смысл всего предложения . Я выучил, вызубрил почти слово в слово и на 3-й раз сдал . Если и это не поможет, то поможет литр водяры или коньяка, дай инжинеру .Пока будешь искать виноватого, сам будешь виноватым .