Можно мать-одиночку с 2 детьми уволить с работы по статье, если она хамит клиентам?

Статья 261 ТК РФ запрещает увольнять одинокую мать, воспитывающую детей в возрасте до 14 лет (за исключением увольнения по основаниям, предусмотренным пунктами 5 - 8, 10 или 11 части первой статьи 81ТК РФ) , т. е за виновные действия можно.
Ваши действия должны быть в строгом соответствии со ст. 193 ТК РФ. Если есть жалоба клиента, то при совершении хамского проступка необходимо потребовать с сотрудника написать объяснительную записку. Если в течение 2-х дней объяснение не последовало, то составляют акт об отказе написать объяснительную. Акт должны подписать как минимум два сотрудника организации, лучше свидетели проступка. На основании акта вы можете составить приказ о выговоре и ознакомьте с ним виновного под подпись. Если она откажется подписать приказ о выговоре составьте соответствующий акт о том, что сотрудник приказ прочитал, но подписать отказался. Акт опять же подписывают не менее двух сотрудников.
Более двух дисциплинарных взысканий в течение года дает вам полное право на увольнение данного сотрудника по п. 5 ч. 1 ст. 81 ТК РФ.

Премирование относится к оплате труда. За что начисляется, за что можно лишить - должно быть указано в положении о премировании или оплате труда

Нельзя.

Ваш статус в наши времена не чего не значит. При желании можно уволить по любой причине. А тут явный залет. Договориться не делать запись в трудовой=все люди.

Уволить можно по п. 1, 5,6,7,8, 10 или 11 ст. 81 Трудового кодекса РФ

Нет такой статьи-"за хамство"