Я работаю зав. производством в государственном учебном заведении, могу ли я устроиться по совместительству в ООО?

Ст. 60.1. ТК РФ не ограничивает никаких прав работников на работу по совместительству (например, по числу мест совместительства, должностям, профессиям и т. д.) . Некоторые ограничения распространяются только на ГОСУДАРСТВЕННЫХ СЛУЖАЩИХ, но к вам это не относится, так как в учебных заведениях должностей госслужащих нет (работа в гос. учреждении не есть синоним понятия "государственная служба")

Работа по совместительству может выполняться работником как по месту его основной работы, так и у других работодателей ( часть 3 статьи 282 ТК РФ).

Статья 282. Общие положения о работе по совместительству

Совместительство - выполнение работником другой регулярной оплачиваемой работы на условиях трудового договора в свободное от основной работы время.

Заключение трудовых договоров о работе по совместительству допускается с неограниченным числом работодателей, если иное не предусмотрено федеральным законом.

Работа по совместительству может выполняться работником как по месту его основной работы, так и у других работодателей.

В трудовом договоре обязательно указание на то, что работа является совместительством.
Не допускается работа по совместительству лиц в возрасте до восемнадцати лет, на тяжелых работах, работах с вредными и (или) опасными условиями труда, если основная работа связана с такими же условиями, а также в других случаях, предусмотренных настоящим Кодексом и иными федеральными законами.
Особенности регулирования работы по совместительству для отдельных категорий работников (педагогических, медицинских и фармацевтических работников, работников культуры) помимо особенностей, установленных настоящим Кодексом и иными федеральными законами, могут устанавливаться в порядке, определяемом Правительством Российской Федерации, с учетом мнения Российской трехсторонней комиссии по регулированию социально-трудовых отношений.
Статья 283. Документы, предъявляемые при приеме на работу по совместительству
При приеме на работу по совместительству к другому работодателю работник обязан предъявить паспорт или иной документ, удостоверяющий личность. При приеме на работу по совместительству, требующую специальных знаний, работодатель имеет право потребовать от работника предъявления диплома или иного документа об образовании или профессиональной подготовке либо их надлежаще заверенных копий, а при приеме на тяжелую работу, работу с вредными и (или) опасными условиями труда - справку о характере и условиях труда по основному месту работы. Работайте.