Обязаны мне оплатить период больничного с конца договора до выздоровления? Продлить договорить? Дать до учиться?

Больничный оплатят в любом случае.

По поводу договора.

Нужно точно знать, на каком именно основании с вами заключен срочный трудовой договор, что в нем написано об условиях выполнения работ и расторжения.

Договор может быть заключен, например
- для выполнения работ, непосредственно связанных с практикой, профессиональным обучением или дополнительным профессиональным образованием в форме стажировки;
- с лицами, принимаемыми для выполнения заведомо определенной работы в случаях, когда ее завершение не может быть определено конкретной датой;

А Трудовой договор, заключенный на время выполнения определенной работы, прекращается по завершении этой работы.

По общим правилам срочный трудовой договор прекращается с истечением срока его действия. О прекращении трудового договора в связи с истечением срока его действия работник должен быть предупрежден в письменной форме не менее чем за три календарных дня до увольнения.
Иными словами, если вы не получили уведомления и сами не захотели расторгать ТД, то он становится бессрочным.

если заболеете до окончания трудового договора или после в течение 30 дней, то больничный оплатят полностью, но после увольнения в размере 60% от заработка. Если больничный прервется после 30 дней, то оплате подлежать не будет, за исключением продолжения больничного.

оплатят полностью, пока не выздоровите

по действующему законодательству, работодатель оплачивает больничный листок, если бывший работник заболел в течении месяца со дня увольнения, но не более еще одного месяца. Т. е. 2 месяца болейте "на здоровье".