ТК РФ. Проработал 3 месяца без трудового договора, перечисления з/п на карту. неделю отсутствовал без причины. Как быть?

Сначала нужно признать в суде, что у вас были с работодателем трудовые отношения, т. е ты по поручению работодателя ты выполнял работу за плату (доказательством могут быть любые - переписка, направления, поручения, письма, какие-то дела, бумаги, чеки с подписью и печатью компании например) . Тогда и можно уже будет одновременно взыскать компенсацию за неиспользованный отпуск (если больше 6 месяцев стаж в этом месте) . А расчет у тебя будет только за фактически отработанные дни в январе.
Т. к праздники (с 1 по 8 января) считаются выходным днем, то они не оплачивается (т. к работники не работают) . Если в праздники вы работали, то тогда вам обязаны сосчитать и их в повышенном размере.

насчет того, как признать трудовые отношения
ст. 67 тк рф
Трудовой договор, не оформленный в письменной форме, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя. При фактическом допущении работника к работе работодатель обязан оформить с ним трудовой договор в письменной форме не позднее трех рабочих дней со дня фактического допущения работника к работе, а если отношения, связанные с использованием личного труда, возникли на основании гражданско-правового договора, но впоследствии были признаны трудовыми отношениями, - не позднее трех рабочих дней со дня признания этих отношений трудовыми отношениями, если иное не установлено судом.

Если нет трудового договора, т. е. вы официально не приняты на работу - нет и увольнения ни по какой из статей ТК. Запись в трудовую книжку может быть сделана только на основании уже существующих, письменно и в полном объеме оформленных трудовых отношений (трудовой договор, должностная инструкция, приказ о приеме на работу, оформленная карточка формы Т-2). Задайте невинный вопрос, как вы можете быть уволены, если не приняты на работу? Пригрозите проверками трудовой, налоговой и прокуратуры.

А в чем вопрос-то? Тебе предложили адекватное, нормальное решение. Зарплату тебе платили. Нечего было прогуливать.
Хотя.. . Что такое "мирно расстаться"? По собственному желанию?

Что значит "как быть"? В чем вопрос? Как поступить, чтобы не уволили? Как обязать работодателя выплатить Вам за январь и за неиспользованный отпуск?

Искать другую работу - сам виноват: (