Обязан ли сотрудник отработать 2 недели, если работал меньше месяца без трудового договора, только по трудовой книжке?

Обратитесь в Федеральную инспекцию труда и прокуратуру. Они ОБЯЗАНЫ Вам помочь и наперегонки побегут защищать Ваши нарушенные права. Конец квартала и год скоро закончиться. А Вы моральный вред можете взыскать Статья 237 Трудового кодекса РФ. Удачи.

Правильно ли я понимаю, что Вы были приняты на работу в соответствии с Трудовым Кодексом, сдали трудовую книжку, расписались в приказе, а теперь желаете уволиться? Можно уволиться по соглашению сторон и немедленно, или предупредить работодателя за 14 дней до желаемой даты увольнения.

Нет, вы ж на испытательном сроке.

На вас распространяются общие правила увольнения: письменное предупреждение работодателя об ув. по с/желанию ст. 80 ТК РФ. Для увольнения по соглашению сторон "немедленно" вам надо очень постараться, а именно добиться согласия на это вашего работодателя п. 1.ч. 1. ст. 77 ТКРФ

Трудовой договор, не оформленный в письменной форме, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его представителя. При фактическом допущении работника к работе работодатель обязан оформить с ним трудовой договор в письменной форме не позднее трех рабочих дней со дня фактического допущения работника к работе (ст. 67 ТК РФ) .
Однако, приступая к исполнению трудовых обязанностей без предварительного оформления трудового договора, будьте готовы к тому, что в случае возникновения конфликта от вас потребуется представить доказательства того, что вы не самостоятельно решили «прийти и немного поработать» , а сделали это с согласия вашего работодателя.
В Вашем случае трудового договора нет, а соответственно ваши отношения с работодателем не попадают под действие ТК РФ. Соответственно можете уйти в любой момент. Вы фактически не являетесь сотрудником организации и записи в трудовой книжке они делать не могут. Вот только трудовую книжку как забрать? Надеюсь её отдадут. Удачи!

На испытательном сроке может отработать только 2 дня и все.