Могу ли я потребовать не оплачиваемый отпуск (2-3 недели) на работе, на которой я еще не отработала пол года?

Можете, думаю руководство не обидется! Так как Вам не надо оплачивать. Пишите заявление, но помните могут откзать, сослаться на поиводственные трудности.

Если вы - инвалид или пенсионер, то можете требовать, отказать права не имеют, а иначе только на усмотрение работодателя
Ст. 128 ТК РФ.
По семейным обстоятельствам и другим уважительным причинам работнику по его письменному заявлению может быть предоставлен отпуск без сохранения заработной платы, продолжительность которого определяется по соглашению между работником и работодателем.

Работодатель обязан на основании письменного заявления работника предоставить отпуск без сохранения заработной платы:

участникам Великой Отечественной войны - до 35 календарных дней в году;

работающим пенсионерам по старости (по возрасту) - до 14 календарных дней в году;

родителям и женам (мужьям) военнослужащих, сотрудников органов внутренних дел, федеральной противопожарной службы, органов по контролю за оборотом наркотических средств и психотропных веществ, таможенных органов, сотрудников учреждений и органов уголовно-исполнительной системы, погибших или умерших вследствие ранения, контузии или увечья, полученных при исполнении обязанностей военной службы (службы), либо вследствие заболевания, связанного с прохождением военной службы (службы), - до 14 календарных дней в году;

работающим инвалидам - до 60 календарных дней в году;

работникам в случаях рождения ребенка, регистрации брака, смерти близких родственников - до пяти календарных дней;

в других случаях, предусмотренных настоящим Кодексом, иными федеральными законами либо коллективным договором.

На усмотрение работодателя.

Требовать - нет, просить - можете. А далее все - на усмотрение руководства, посчитают нужным - отпустят,

Конечно, если есть уважительная причина.

не желательно, выгонят