Кадры не согласовывают заявление на один день. Что делать?

Видите ли в чем дело: ТК РФ не содержит понятия " в счет отпуска"... Да, он предусматривает деление отпуска на части, и 1 день тоже часть отпуска. Но в соответствии с п. 9 ст. 136 ТК РФ он обязан Вам выдать отпускные за 3 дня до начала отпуска, и закон не устанавливает работодателю никаких послаблений, даже в случае предоставления отпуска в 1 день. А это уже нарушение ТК РФ, которое карается административным наказанием. Вот работодатель и настаивает на отпуске без сохранения заработной платы.

отпуск может дробиться на части не менее 14 дней так что пишите за свой счет

С точи зрения Кодекса, нарушения в действиях работодателя нет...
В силу ч. 1 ст. 125 ТК РФ по соглашению между работником и работодателем ежегодный оплачиваемый отпуск может быть разделен на части. (При этом хотя бы одна из частей такого отпуска должна составлять не менее 14 календарных дней). Соответственно, предоставление отпуска продолжительностью один календарный день законом не запрещено.... если работодатель согласен предоставить такой отпуск. Обязанности такой у работодателя нет.
Из жизни... Обычно, при первичном визировании, задача кадровика, проверить положен или нет Вам отпуск, соблюдаются ли при его предоставлении нормы закона и т. д. и наложить соответствующую визу. Окончательное решение принимает руководитель, с учетом "пожеланий" кадровой службы. Не известно, какой порядок подписи подобных заявлений утвержден в Вашей организации, возможно у отдела кадров негласная установка - не принимать такие заявления... Тоже может быть

Статья 125. Разделение ежегодного оплачиваемого отпуска на части. Отзыв из отпуска
По соглашению между работником и работодателем ежегодный оплачиваемый отпуск может быть разделен на части. При этом хотя бы одна из частей этого отпуска должна быть не менее 14 календарных дней.
Значит другие части могут быть меньшей продолжительности. Отпуск предоставляется на основании приказа руководителя организации с ним и надо согласовывать. Отдел кадров и руководитель отдела таким правом не обладают и отказать не имеют права. В этой ситуации они клерки- исполнители и пусть не превышают своих полномочий. Идите к руководителю организации и согласовывайте с ним. Прочтите сами всю статью 125 Трудового кодекса РФ.
А отпускные, действительно, надо за три дня выплатить Но в тоже время, если работнику своевременно не была произведена оплата за время ежегодного оплачиваемого отпуска либо работник был предупрежден о времени начала этого отпуска позднее чем за две недели до его начала, то работодатель по письменному заявлению работника обязан перенести ежегодный оплачиваемый отпуск на другой срок, согласованный с работником. Опять же от Вас зависит, ждать или не ждать отпускные. Статья 124.

Один день в счёт отпуска не даётся. Без сохранения ЗП пиши.