Должна ли я выходить на работу без подписания договора?

нет

согласно ст. 15, 16, 22, 66 тк рф: трудовые отношения возникают на основании трудового договора, который считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя, даже если договор не оформлен в письменной форме; работодатель обязан предоставлять работникам работу, обусловленную трудовым договором и выплачивать в полном размере причитающуюся работникам заработную плату в установленные сроки;

Смотря что это за "потом". Технический лаг в 1-2 дня думаю допустим - может кадровик болеет.

у нас, если устраивающийся на работу требует копию договора его или не принимают на работу или увольняют сразу, если запись в трудовую уже внесли. Вот такая страна у нас

Трудовым кодексом дается 3 дня на заключение трудового договора. Ст. 67 ТК РФ:
Трудовой договор, не оформленный в письменной форме, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя. При фактическом допущении работника к работе работодатель обязан оформить с ним трудовой договор в письменной форме не позднее трех рабочих дней со дня фактического допущения работника к работе, а если отношения, связанные с использованием личного труда, возникли на основании гражданско-правового договора, но впоследствии были признаны трудовыми отношениями, - не позднее трех рабочих дней со дня признания этих отношений трудовыми отношениями, если иное не установлено судом.

С уважением, юрист БУДУ ПРАВ.

По закону вы не их сотрудник. Соответственно можете отработать бесплатно. Вопрос в другом, каким числом будет подписан договор, может подпишите через пару дней. когда бумаги подготовят и всё будет ок.

Вот смотрите, как правило все таки 1-2 дня могут и не подписывать догвор, потому как пока отдел кадров документы оформит, на подпись директору отнесет, пока директор подпишет, короче технические моменты . Если в работе заинтересованы, то пару дней можно и сходить, но не больше.
А так то, кончно трудовой договор нужен обязательно.