при написании заявления об увольнении работадатель требует писать не по собственному желанию, а по соглашению сторон.

Соглашение оно на то и соглашнние, что д. б. взаимным. То есть заставить вас не могут.
Обратите внимание, что если при увольнении по с.. ж. вы можете, передумав, отозвать заявление, пока Вас не уволили (письменно, разумеется) , то при соглашении сторон этого уже не сделаешь.
Еще одна тонкость - если вы пишете в заявлении на увольнение по с. ж. определенную дату увольнения (нап. : "прошу уволить 5 мая"), то и уволить на законных основаниях могут только этого числа. Увольнение в другой день будет незаконным и его можно опротестовать.

Надо выяснить, в чем это выражается.

Пишите как хотите закон на Вашей стороне. Если будут проблемы обратитесь в трудовую инспекцию - их решение обязательно для исполнения как и решение суда.

это практически одна и та же статья. По соглашению даже выгодней - максимальное пособие по безработице

Это в общем-то разницы не имеет, так как если Вы увольняетесь по собственному желанию, это всё равно согласовывается с Работодателем. Главное чтоб в трудовой книжке было написано- Уволена согласно п. 3 ст. 77 - собственное желание. И Вы конечно же имеете право требовать, чтоб в заявлении писать "по собственному желанию". Это право никто не может для Вас отменить. Будут противиться- подавайте в суд.

Да наплевать как в заявлении написано. ты же не требуешь увольнения по сокращению штатов, а по собственному или по соглашению сторон один хрен. На бирже получишь минимальное пособие хоть по собственному хоть по соглашению. эти две формулировки ни на что не влияют в дальнейшем.