Я устроился на работу в частную крупную компанию, перекрёсток.

Вороваек в таком бизнесе не любят.

Да, могут, конечно же. Под предлогом, что ты не прошёл СБ. Решение принимает руководитель на основе предоставленных данных от СБ. Не можешь остаться

Лучше представь сведения сам в свою СБ. Зачтут, может, и не уволят.

По ТК в твоем случае уволить нельзя, а вот повышение возможно тебе не светит

Уволить на основании не прошёл СБ не могут - нет такого основания в ТК РФ, если чё оспаривается в суде.
А вот в повышении на этом основании отказать могут. Могут да же сослаться на судимость

Андрей, Ваша должность не входит в число должностей, которые Вам запрещено занимать законом.
Есть только определённые должности, строго перечисленные законодательно.
Ст. 331 и 351 Трудового кодекса устанавливают запрет на занятия педагогической деятельностью и деятельностью в сфере образования.
Аналогичный запрет также установлен для:
1) гражданских служащих (ст. 16 Федерального закона от 27.07.2004 № 79-ФЗ «О государственной гражданской службе Российской Федерации»);
2) судебных приставов (ст. 3 Федерального закона от 21.07.1997 № 118-ФЗ «О судебных приставах»);
3) сотрудников полиции (ст. 29 Федерального закона от 07.02.2011 № 3-ФЗ «О полиции»);
4) специалистов авиационного персонала (ст. 52 ВК РФ);
5) прокурорских работников (ст. 40.1 Федерального закона от 17.01.1992 № 2202-1 «О прокуратуре Российской Федерации»);
6) сотрудников ОВД (ст. 14 Федерального закона от 30.11.2011 № 342-ФЗ «О службе в органах внутренних дел Российской Федерации и внесении изменений в отдельные законодательные акты Российской Федерации»); и др.
Иных запретов сегодня не установлено.
В связи с этим Вас уволить не имеют права. Кстати, Конституционный судом РФ однажды рассматривалось дело об увольнении завхоза школы по этому основанию. Но, поскольку завхоз не имеет дела с воспитанием детей, его суд восстановил в должности. Поэтому Вам бояться нечего. Главное, стоять на своём и защищать свои права, если до этого дойдёт.