Могут ли уволить сотрудника,находящегося на должности работника,который сейчас в отпуске по уходу за ребенком

Имеют право. Но обычно этим не занимаются, а пытаются пристроить на другую должность, если нет возможности оставить на данной должности. Если он ни с кем из руководства не успел посориться, думаю, всё будет хорошо.

Конечно могут, по выходу основного сотрудника на работу.

Да, могут. Судя по описанной ситуации, с работником заключен срочный трудовой договор. Тркдовой договор будет расторгнут при выходе другого работника из отпуска по уходу за ребенком.

Почитайте повниметельнее свой договор. Если там стоит дата окончания договора - по крайне мере потребуйте неустойку. А если размытая формулировка, типа " на время отсутствия основного работника", то . .ищите другое место.

81 ТК РФ предусмотрено, что не допускается увольнение работника по инициативе работодателя (за исключением случая ликвидации организации либо прекращения деятельности работодателем - физическим лицом) в период его временной нетрудоспособности и в период пребывания в отпуске.
В случае расторжения трудового договора с руководителем организации, его заместителями и главным бухгалтером в связи со сменой собственника имущества организации новый собственник обязан выплатить указанным работникам компенсацию в размере не ниже трех средних месячных заработков работника (ст. 181 ТК РФ) .
Однако ст. 261 ТК РФ установлено, что расторжение трудового договора с женщинами, имеющими детей в возрасте до трех лет, одинокими матерями, воспитывающими ребенка в возрасте до четырнадцати лет (ребенка-инвалида до восемнадцати лет) , другими лицами, воспитывающими указанных детей без матери, по инициативе работодателя не допускается (за исключением увольнения по основаниям, предусмотренным п. п. 1, 5 - 8, 10 или 11 ч. 1 ст. 81 или п. 2 ст. 336 ТК РФ) .

конечно могут, они же не сокращают штатную единицу, а таких временных работников на этой дожности может пройти много

Не допускается увольнение работника, находящемся в отпуске по уходу за ребенком до 3-х лет без согласия работника. (Статья 261 Трудового Кодекса РФ).

Да, поскольку трудовой договор с ним заключался на период нахождения работника в отпуске по уходу за ребенком.