Нарушаются ли мои права?

должны быть: Правила внутреннего трудового распорядка или Положение о поощрениях и взысканиях, или Коллективный договор

и там должно быть отражено данное поощрение: за то, что работник заботится о своём здоровье и старается больше работать, дать ему отгулы.. . (ст. 189-191 ТК РФ)
если этого нет, то незаконно

но это трудно представить дискриминацией (ст. 3 ТК РФ) , потому что работа без больничных - это можно отнести к деловым качествам работника (хотя вопрос сложный.. . другой уходит на больничные, но в другие дни работает значительно лучше...)

Отгул даётся за сверхурочную работу и т. п. Если директор даёт отгулы в Вашем случае. то это скорее форма материального поощренния. Только првильнее было-бы назвать это не отгулами, а как-то по другому...

Это система мотивации.
А в чем конкретно Вы считаете свои права ущемленными?
Трудовое законодательство здесь не нарушено.

Вы работаете и не знаете ни коллективного договора, ни правил внутреннего распорядка и т. д. , где все это должно быть прописано? Руководитель частного предприятия вправе устанавливать локальные нормы, не противоречащие трудовому законодательству и не ухудшающие положение работника. Инициатива директора хорошая и направлена на то, чтобы его работники заботились о своем здоровье. Но у нас народ такой, что ради отгулов готов выйти на работу в бессознательном состянии.

имеет!

Ну молодец! Каждый находит свои способы поощрения. Ничего наказуемого в этом нет

Да, имеет. Директор дает отгулы когда хочет, на то он и директор

В нашей организации предоставляется два дополнительных дня к отпуску без оплаты за работу в течение года без больничных, однако работник вполне может и отказаться от их предоставления, так что все на добровольной основе.

хрень какая то никогда не слышал об этом у вас наверное свое государство там

Смотря какая организация, бюджет или ИП какое-нибудь, а вообще начальник это - начальник, что хочет то и делает!!!! он же дает, а не забирает, например, дни отпуска за то что вы были на больничных!!!

нет имеет полпое право