имеет ли право работник брать отпуск за свой счет, если еще не отработал в новой компании положенные полгода?

Согласно статьи 128 Трудового кодекса - по семейным обстоятельствам и другим уважительным причинам работнику по его письменному заявлению может быть предоставлен отпуск без сохранения заработной платы, продолжительность которого определяется по соглашению между работником и работодателем.
Есть категории работников, которым работодатель обязан предоставить отпуск без сохранения заработной платы:
участникам Великой Отечественной войны - до 35 календарных дней в году;
работающим пенсионерам по старости (по возрасту) - до 14 календарных дней в году;
родителям и женам (мужьям) военнослужащих, погибших или умерших вследствие ранения, контузии или увечья, полученных при исполнении обязанностей военной службы, либо вследствие заболевания, связанного с прохождением военной службы, - до 14 календарных дней в году;
работающим инвалидам - до 60 календарных дней в году;
работникам в случаях рождения ребенка, регистрации брака, смерти близких родственников - до пяти календарных дней;
в других случаях, предусмотренных настоящим Кодексом, иными федеральными законами либо коллективным договором.
В иных случаях, количество дней отпуска определяете Вы совместно с работодателем. На сколько договоритесь, столько и получите!!! !

Полгода работы тут не причём. Это право на ежегодный отпуск наступает через полгода.

Отпуск без сохранения з/п даётся только на усмотрение руководителя (если вы не относитесь к категории работников, которым обязаны по их заявлению отпуск без сохранения з/п предоставлять).

Только с разрешения администрации, это же не очередной отпуск

6 месяцев непрерывной работы за первый год у данного работодателя нужны для возникновения права на предоставление ежегодного оплачиваемого отпуска. ст. 122 ТК РФ
Отпуск без сохранения зрп предоставляется в обязательном порядке определенному кругу лиц и по определенным причинам. ст. 128 ТК РФ
Если вы не попадаете под обязательное предоставление, то работодатель имеет полное право отказать вам в предоставлении такого отпуска.

Может, но на усмотрение администрации. Тоесть, если администрация считает возможным дать вам отпуск, то даст. Если нет, то вы не в праве требовать.

Право имеет, но разрешит ли администрация.

Согласен с Натальей, только одна оговорка а причем здесь полгода, положенные полгода нужны для того что бы дали оплачиваемый ежегодный отпуск за первый год работы на новом месте.

Да хоть сто лет отработай, работодатель имеет право отказать всегда. Просить можно, требовать - нельзя.