Нужно вставить в пробелы слова в нужно форме - The moment he ____ heard the good news, he ______ me.

"звонить" - это не процесс.... вот если бы было сказано"набирал номер", то это процесс и здесь будет длительное действие.... и потом, здесь последовательность действий (как только услышал, сразу позвонил - это верный перевод вашего предложения) , по правилу согласования времен нужно использовать Simple Past в обеих частях предложения.

The moment he heard the good news, he phoned me.
Последовательность действий, происходящих в прошлом одно за другим, как только он услышал, он позвонил.
Никаких was phoning!!!

вы неправильно перевели. Он услышал новость, а потом позвонил. Если бы было по-вашему, то было бы слово "пока". Он услышал новость, пока звонил

Разный перевод.
Ваш вариант: В тот момент, когда он узнал (услышал) хорошую новость, он мне звонил – т. е. во время разговора о постороннем, откуда ни возьмись, прозвучало приятное известие.

Другой же вариант: В тот момент (сразу же) , когда он услыхал хорошую новость, он мне позвонил, звонок, видимо был посвящен этому известию.
Чтобы прояснить ситуацию, иногда предложение продолжают. Например:
The moment he ____ heard the good news, he ______ me to share (inform) it.
И исxtзнет непонимание ситуации. .

Когда ты выбираешь времена, важно представлять себе картинку происходящего, например, в тот момент, когда я проснулся шел дождь. Я проснулся - woke up, Past Simple, а дождь шел и до того момента, и в этот момент и после этого момента, те Continuous. А в твоем примере он же сначала услышал и только потом позвонил, те одно действие закончилось и лишь потом началось второе! Значит 2 Past Simple

ing- окончание обычно применяется к глаголам чувств: loving, feeling и т. д. поэтому phoning впринципе не правильно, в любом времени и грамматически не правильно.

В тот момент, когда он услышал хорошую новость, он ПОЗВОНИЛ МНЕ, а не сидел и звонил, звонил....