В чем разница между should & ought to?

Личного опыта не обещаю, потому как за всю жизнь ни разу не встретил ought to в реальности.
А формальное правило простое. To be ought to обзначает следование общепринятым моральным нормам, правилам приличия и т. п. You are ought to stand in the presence of the Queen - в присутствии королевы следует стоять. You're ought to tell truth to the court - в суде следует говорить правду.
Should намного более распространено, и его употребление более нейтральное. То есть можно сказать You should tell truth to the court - тебе бы стоило говорить в суде правду - но обратите внимание на оттенок: хочешь - говори, хочешь - не говори, твои проблемы.
То есть разница между ними примерно как между русскоязычными эквивалентами "следует" и "стоило бы".

Модальный глагол ought выражает моральную необходимость совершения действия. На русский язык обычно переводится словами должен, должен бы, следует, следовало бы. Имеет только форму настоящего неопределенного времени ought, т. е. форм прошедшего и будущего неопределенного времени не имеет.
После модального глагола ought смысловой глагол в неопределенной форме употребляется с частицей to:

I suppose I ought to confiscate it, but I hate to treat an officer in that way.
Я полагаю, мне следовало бы конфисковать это, но я терпеть не могу так обращаться с офицером.

Глагол ought в сочетании с перфектным инфинитивом указывает на то, что желаемое действие не было осуществлено в прошлом:

Не ought to have done this work.
Ему следовало бы сделать эту работу.

В качестве модального глагола употребляется также глагол should.

Глагол should выражает совет, субъективную необходимость совершения действия. На русский язык обычно переводится словами должен, следует. Имеет только одну форму should:

The instructions should be written in clear language.
Инструкции нужно писать (должны писать) ясным языком.

Я пять лет проработал в иностранной компании и переписывался с самыми разными инострацами.
Могу сказать, что НИ РАЗУ В РЕАЛЬНОЙ ЖИЗНИ не встречал употребления слова ought. А вот слово should используется постоянно

Присоединяюсь к тому, что написали тут другие пользователи.

Модальный глагол ought выражает моральную необходимость совершения действия. На русский язык обычно переводится словами должен, должен бы, следует, следовало бы. Имеет только форму настоящего неопределенного времени ought, т. е. форм прошедшего и будущего неопределенного времени не имеет.
После модального глагола ought смысловой глагол в неопределенной форме употребляется с частицей to:
I suppose I ought to confiscate it, but I hate to treat an officer in that way.
Я полагаю, мне следовало бы конфисковать это, но я терпеть не могу так обращаться с офицером.
Глагол ought в сочетании с перфектным инфинитивом указывает на то, что желаемое действие не было осуществлено в прошлом:
Не ought to have done this work.
Ему следовало бы сделать эту работу.

Глагол should выражает совет, субъективную необходимость совершения действия. На русский язык обычно переводится словами должен, следует. Имеет только одну форму should:
The instructions should be written in clear language.
Инструкции нужно писать (должны писать) ясным языком.

А из личного опыта-как правильно сказал Leonid, should гораздо более распространен, чем ought to. В американском английском, “should” обычно используется вместо “ought to” в вопросах, в отрицательных предложениях, и в прошедшем времени.

Разницы нет, просто ought to это более формально, а should более разговорный, а по смыслу между ними можно поставить знак равенства

Простыми словами: should - слабое долженствование You should do it Тебе следует это сделать (потому что это интересно). ought to - моральное долженствование You ought to call at home Тебе следует позвонить домой (потому что уже поздно и твои родители волнуются)