Какая разница в значении: began to cry и began crying?

Как Вам уже правильно ответили выше, разница между START TO DO и START DOING something несущественна, и зачастую едва заметна, оба варианта грамматически правильны. Однако, если покопаться, можно заметить некоторые отличия. Вот что удалось найти
1) Первое отличие -
http://forum.wordreference.com/showthread.php?t=1448036&langid=18
The man started to run. --> but he finished doing so
The man started running.--> and probably is still running.
He started to run before he ran, but once he is running, we say "He has started running". The difference is usually slight, but real:

He has never actually run for public office. The man started to run but did not seem to be able to get all the requisite papers filed in time. [Running does not fit this sentence.]

The man started running back in December, and he still runs every Wednesday night. [Running fits this sentence better than to run.]

2) Ещё один аспект -
http:// www. usingenglish. com/forum /ask-teacher /45606 - difference-between-start-do-start-doing. html (убрать пробелы)
start (v.)
This weak verb can be combined with either a gerund or to plus an infinitive: He started speaking and He started to speak mean the same.
______________
Note, though, that for some native speakers there is a difference between start to do and start doing:

Start to do - hasn't started yet or is in preparation
Ex:I'll start to do that tomorrow.
Start doing - has started already or is already prepared and ready to start
Ex: I'll start doing that tomorrow.

Начал стенать и начал стенания.
ТНЕ — указатель на конкретную комнату, утро...

Инфинитив - с какой целью; герундий - что
Наглядный пример:
She stopped reading - Она перестала читать
She stopped to read - Она остановилась, чтобы прочитать.
В случае с BEGIN и START нет разницы. began to cry и began crying имеет одно значение

the second room - вторая (по порядку) комната
a second room = another room (ещё одна комната)

первый это инфинитив а второй герундий.... разница в значении... так же см. правила по употреблению артиклей

перевод и значение таково: начала плакать, и начала плачь (плакание) , у герундия значение более общее, значение процесса, а инфинитив-действие

Сокращённая форма. Это как у нас """Я пойду вот туда - Я пойду туда""" - типа того.