Почему используется Participle II, а не Participle I совершен.вида? Frightened by the dog, the child began to cry.

Participle I употребляется для обозначения процесса, либо действия, не завершенного на момент речи. Participle II - используется для обозначения завершенного действия - на момент высказывания "ребенок уже напуган и расплакался" )

Мариночка, на самом деле оба причастия - Причастие 1 и Причастие 2 имеют право быть в данном предложении. ( только не та форма Первого причастия, что вы указали, а то получится, что не мальчик был напуган собакой, а сам мальчишка напугал собаку)
Participle II употребляется в функции ОБСТОЯТЕЛЬСТВА в причастных оборотах для выражения ВРЕМЕНИ или ПРИЧИНЫ. Такие обороты соответствуют обстоятельственным придаточным предложениям с с глаголом в СТРАДАТЕЛЬНОМ залоге и обычно переводятся на русский язык обстоятельственными придаточными предложениями.
When asked whether he intended to return soon, he replied that he would be away for about 3 months.
Когда его спросили, намерен ли он скоро возвратиться, он ответил, что будет отсутствовать около3 месяцев.
НО
В обстоятельственных причастных оборотах наряду с Participle II употребляется PRESENT PARTICIPLE PASSIVE - BEING FRIGHTENED( обратите внимание НЕ Participle I совершен. вида - having frightened, так как нам нужна пассивная форма, а не активная, над мальчиком же было произведено действие)
То есть абсолютно правильные и идентичные с точки зрения грамматики, синтаксических функций и по смыслу будут следующие 2 предложения -
1) Frightened by the dog, the child began to cry. ( Перед Participle 2 в этой функции ( функции обстоятельства) может стоять союз when - When asked whether he intended to return soon, he replied that he would be away for about 3 months. Но в вашем предложении он не нужен, так обычно предшествует обстоятельству времени, а здесь обстоятельство причины. )
2) Being frightened by the dog, the child began to cry. - Испугавшись собаки ( = будучи напуган ) собакой, мальчишка расплакался.

К Анее - причастие Participle I совершен. вида (!!!) переводилось бы не "пугающий", а "напугавший" собаку мальчик, расплакался. Соглашусь только в том, что они оба НЕ подходят!

Это называется независимым причастным оборотом, или или "Абсолютным (самостоятельным) причастным оборотом"
В обстоятельстве причины- frightened by the dog просто опущено having been, которое легко угадывается.

Причастие переводилось бы "пугающий", что не совсем подходит.

Т. к. пассивное причастие обычно показывает, что действие им обозначаемое одновременно действию, выраженному глаголом-сказуемым, на мой взгляд в данном случае перфектное пассивное причастие 1 подходит даже лучше, так как действие произошло раньше действия в прошлом - Having been frightened by the dog, the child began to cry)) Контекста тут конечно нет, но если мальчик не напуган до сих пор, то оно будет даже лучше смотреться) ) Исправьте еси я чё нить не понимаю)

Ну а причастие второе здесь используется потому что означает практически тоже самое, но по написанию на много легче, особо даже задумываться над правильностью не надо.

А для Monster, причастие 1 имеет 4 разные формы....

мне так легче определять
испуганный (кем? чем) собакой - страдательное причастие, зн. используется Participle II