Почему в этих случаях употребляется слово him, а не he (ведь по логике перевода подходит именно оно). Примеры внутри.

Переводится как "Позвольте ЕМУ помочь мне"!:) He - это когда лицо выступает как главное существительное в именительном падеже. В других падежах будет Him. Это точно также, как местоимения I и me. В именительном падеже выступает I, а в других me.:)

Нельзя строить английское предложения или предложение на любом другом языке по логике перевода его на русский язык. Это одна из самых распространенных ошибок изучающих язык. А логика здесь такая: после глагола употребляется дополнение. Дополнение употребляется не в общем падеже (именительном) , а в косвенном. Таким образом, никаких he, только him.

Некоторые лингвисты считают, что в английском языке два падежа - именительный и притяжательный. На самом деле падежей в английском больше, только, в отличие от русского языка, они не выражаются флексиями (окончаниями) , т. к. английский - язык аналитический.
Местоимения, однако, склоняются по падежам. Причем они имеют три формы: одну для именительного падежа - в нашем случае he, вторую - для притяжательного (his), третью - для всех остальных падежей (him). I saw him (русский винительный) , I gave him (русский дательный) , I talked about him (русский предложный) и т. д.

куму? чему? - ему, а ему по-английски это HIM, а не HE

Эээ, по логике буквального перевода "со словарем" может быть уместно что угодно :)