Как правильно говорить "прочту" или "прочитаю"?

Правы все, кто назвал правильными оба варианта.
Ситуация проста - Вы ведь не станете спрашивать,
как правильно сказать - "плыть" или "плавать".
Как раз в таких отношениях находятся между собой
устаревший глагол "честь", употребляемый ныне только
с приставками, и "читать".

"Читать" по происхождению - итератив (форма многократного
вида) от "честь". Однако в сочетании с приставкой "про-" и
некоторыми другими эти глаголы утратили прежние видовые
различия и стали восприниматься как глаголы совершенного
вида с одинаковым лексическим значением (при наличии
небольших тонкостей в употреблении и сочетаемости) .

Напоминает о прежних видовых различиях возможность
употребления глагола "прочитать" для обозначения длительного
действия:
"Не спится. . наверное, сегодня прочитаю всю ночь".
Сказать "сегодня прочту всю ночь" нельзя.

Это единственное принципиальное различие в значениях
рассматриваемых глаголов.

Во, ещё один избыточный глагол.
Конечно, обе формы правильны.

а в чём сомнение?. . оба варианты равноправны для употребления в опред. ситуациях.

Допускаются оба произношения

прочту

по моему и так и так можно

"Прочесть" и "прочитать" - разные действия.
Прочесть - для слушателей (от чтец) .
Прочитать - текст (от читатель) .

"Прочитать стихи по памяти" - это выражение неправильное из-за глагола: "прочитать", который используется вместо глагола: "прочесть".
"Прочесть стихи по памяти" - это выражение правильное.
"Прочесть в газете о событии" - это выражение неправильное из-за глагола: "прочесть", который используется вместо глагола: "прочитать".
"Прочитать в газете о событии" - это выражение правильное.

вобще то две формы правильны. но они отвечают на разные вопросы и употребляется по разному)))