Будет ли правильна с лингвистической точки зрения следующая фраза:

Это устойчивое сочетание.

Именем кого-чего.
Властью, принадлежащей кому-, чему-л. Именем закона. Именем революции. (только представьте, что нужно употребить 2 однородных члена, вы не не скажете «именАМИ» закона и.... )

Во имя кого-чего. Высок.
В честь, ради кого-, чего-л. Во имя мира во всём мире (то же самое, не «во имЕНА» мира и ...)

От имени кого-чего. в зн. предлога.
По поручению, ссылаясь, опираясь на кого-, что-л. Говорить от имени общественности (не от «имен» общественности и ...)
К тому же орма единственного числа употребляется в значении множественного в ряде случаев, например,
при употреблении существительного конкретного в собирательном, обобщающем значении: В такую вьюгу и медведь не вылезает из берлоги;
при указании на то, что одинаковые предметы принадлежат каждому лицу или предмету из целой их группы или находятся в одинаковом отношении к ним (так называемое дистрибутивное значение) :
Солдаты стояли с опущенной головой.. . (Пушкин) ; Ученики писали карандашом (не «карандашами») .

Правильно: "Во ИМЯ Отца, и Сына, и Святого Духа", Так как есть буквы "и" перед каждым последующим именем. А во множественном числе слово "имена" в таком предложении: "Во ИМЕНА Отца, Сына и Святого Духа"

С точки зрения христианского учения Отец, Сын, и Святой Дух - триединая, нераздельная сущность, "святая троица", поэтому одно Имя.